内容简介

编程的基础是计算机科学，而计算机科学的基础是数学。因此，学习数学有助于巩固编程的基础，写出更健壮的程序。
　　本书面向程序员介绍了编程中常用的数学知识，借以培养初级程序员的数学思维。读者无需精通编程，也无需精通数学，只需具备四则运算和乘方等基础知识，就可以阅读本书。
　　书中讲解了二进制计数法、逻辑、余数、排列组合、递归、指数爆炸、不可解问题等许多与编程密切相关的数学方法，分析了哥尼斯堡七桥问题、少年高斯求和方法、汉诺塔、斐波那契数列等经典问题和算法。引导读者深入理解编程中的数学方法和思路。
　　本书还对程序员和计算机的分工进行了有益的探讨。读完此书，你会对以程序为媒介的人机合作有更深刻的理解。

目录

第1章　0的故事——无即是有

本章学习内容　2

小学一年级的回忆　2

10进制计数法　3

　什么是10进制计数法　3

　分解2503　3

2进制计数法　4

　什么是2进制计数法　4

　分解1100　5

　基数转换　6

　计算机中为什么采用2进制计数法　8

按位计数法　10

　什么是按位计数法　10

　不使用按位计数法的罗马数字　11

指数法则　12

　10的0次方是什么　12

　10-1是什么　13

　规则的扩展　14

　对20进行思考　14

　2-1是什么　15

0所起的作用　16

　0的作用：占位　16

　0的作用：统一标准，简化规则　16

　日常生活中的0　17

人类的极限和构造的发现　18

　重温历史进程　18

　为了超越人类的极限　19

本章小结　20

第2章　逻辑——真与假的二元世界

本章学习内容　22

为何逻辑如此重要　22

　逻辑是消除歧义的工具　22

　致对逻辑持否定意见的读者　23

乘车费用问题——兼顾完整性和排他性　23

　车费规则　23

　命题及其真假　24

　有没有“遗漏”　24

　有没有“重复”　25

　画一根数轴辅助思考　26

　注意边界值　28

　兼顾完整性和排他性　28

　使用if语句分解问题　28

　逻辑的基本是两个分支　29

建立复杂命题　30

　逻辑非——不是A　30

　逻辑与——A并且B　32

　逻辑或——A或者B　34

　异或——A或者B(但不都满足)　37

　相等——A和B等　39

　蕴涵——若A则B　40

　囊括所有了吗　45

德·摩根定律　46

　德·摩根定律是什么　46

　对偶性　47

卡诺图　48

　二灯游戏　48

　首先借助逻辑表达式进行思考　49

　学习使用卡诺图　50

　三灯游戏　52

包含未定义的逻辑　54

　带条件的逻辑与(&&)　55

　带条件的逻辑或(||)　57

　三值逻辑中的否定(！)　58

　三值逻辑的德?摩根定律　58

　囊括所有了吗　59

本章小结　60

第3章　余数——周期性和分组

本章学习内容　64

星期数的思考题(1)　64

　思考题(100天以后是星期几)　64

　思考题答案　64

　运用余数思考　65

　余数的力量——将较大的数字除一次就能分组　65

星期数的思考题(2)　66

　思考题(10100天以后是星期几)　66

　提示：可以直接计算吗　67

　思考题答案　67

　发现规律　68

　直观地把握规律　68

乘方的思考题　70

　思考题(1234567987654321)　70

　提示：通过试算找出规律　70

　思考题答案　70

　回顾：规律和余数的关系　71

通过黑白棋通信　71

　思考题　71

　提示　73

　思考题答案　73

　奇偶校验　73

　奇偶校验位将数字分为两个集合　74

寻找恋人的思考题　74

　思考题(寻找恋人)　74

　提示：先试算较小的数　74

　思考题答案　75

　回顾　75

铺设草席的思考题　77

　思考题(在房间里铺设草席)　77

　提示：先计算一下草席数　77

　思考题答案　78

　回顾　78

一笔画的思考题　79

　思考题(哥尼斯堡七桥问题)　79

　提示：试算一下　80

　提示：考虑简化一下　81

　提示：考虑入口和出口　82

　思考题答案　82

　奇偶校验　85

本章小结　86

第4章　数学归纳法——如何征服无穷数列

本章学习内容　88

高斯求和　88

　思考题(存钱罐里的钱)　88

　思考一下　89

　小高斯的解答　89

　讨论一下小高斯的解答　89

　归纳　91

数学归纳法——如何征服无穷数列　91

　0以上的整数的断言　92

　高斯的断言　93

　什么是数学归纳法　93

　试着征服无穷数列　94

　用数学归纳法证明高斯的断言　95

求出奇数的和——数学归纳法实例　96

　奇数的和　96

　通过数学归纳法证明　97

　图形化说明　98

黑白棋思考题——错误的数学归纳法　99

　思考题(黑白棋子的颜色)　99

　提示：不要为图所惑　100

　思考题答案　100

编程和数学归纳法　101

　通过循环表示数学归纳法　101

　循环不变式　103

本章小结　107

第5章　排列组合——解决计数问题的方法

本章学习内容　110

计数——与整数的对应关系　110

　何谓计数　110

　注意“遗漏”和“重复”　111

植树问题——不要忘记0　111

　植树问题思考题　111

加法法则　115

　加法法则　115

乘法法则　117

　乘法法则　117

置换　121

　置换　121

　归纳一下　122

　思考题(扑克牌的摆法)　123

排列　125

　排列　125

　归纳一下　126

　树形图——能够认清本质吗　128

组合　130

　组合　130

　归纳一下　131

　置换、排列、组合的关系　132

思考题练习　134

　重复组合　134

　也要善于运用逻辑　136

本章小结　139

第6章　递归——自己定义自己

本章学习内容　142

汉诺塔　142

　思考题(汉诺塔)　142

　提示：先从小汉诺塔着手　143

　思考题答案　146

　求出解析式　148

　解出汉诺塔的程序　149

　找出递归结构　150

再谈阶乘　151

　阶乘的递归定义　152

　思考题(和的定义)　153

　递归和归纳　153

斐波那契数列　154

　思考题(不断繁殖的动物)　154

　斐波那契数列　157

帕斯卡三角形　159

　什么是帕斯卡三角形　159

　递归定义组合数　162

　组合的数学理论解释　163

递归图形　165

　以递归形式画树　165

　实际作图　166

　谢尔平斯基三角形　167

本章小结　168

第7章　指数爆炸——如何解决复杂问题

本章学习内容　172

什么是指数爆炸　172

　思考题(折纸问题)　172

　指数爆炸　175

倍数游戏——指数爆炸引发的难题　176

　程序的设置选项　176

　不能认为是“有限的”就不假思索　178

二分法查找——利用指数爆炸进行查找　178

　寻找犯人的思考题　178

　提示：先思考人数较少的情况　179

　思考题答案　180

　找出递归结构以及递推公式　181

　二分法查找和指数爆炸　183

对数——掌握指数爆炸的工具　184

　什么是对数　184

　对数和乘方的关系　184

　以2为底的对数　186

　以2为底的对数练习　186

　对数图表　187

　指数法则和对数　188

　对数和计算尺　190

密码——利用指数爆炸加密　193

　暴力破解法　193

　字长和安全性的关系　193

如何处理指数爆炸　195

　理解问题空间的大小　195

　四种处理方法　195

本章小结　196

第8章　不可解问题——不可解的数、无法编写的程序

本章学习内容　200

反证法　200

　什么是反证法　200

　质数思考题　202

　反证法的注意事项　203

可数　203

　什么是可数　203

　可数集合的例子　204

　有没有不可数的集合　206

对角论证法　207

　所有整数数列的集合是不可数的　207

　所有实数的集合是不可数的　211

　所有函数的集合也是不可数的　212

不可解问题　213

　什么是不可解问题　213

　存在不可解问题　214

　思考题　215

停机问题　215

　停机　216

　处理程序的程序　217

　什么是停机问题　217

　停机问题的证明　219

　写给尚未理解的读者　222

　不可解问题有很多　223

本章小结　224

第9章　什么是程序员的数学——总结篇

本章学习内容　226

何为解决问题　229

　认清模式，进行抽象化　229

　由不擅长催生出的智慧　229

　幻想法则　230

　程序员的数学　231

文档截图