二叉树 & 二叉查找树
树相关术语：
节点：树中的每个元素称为一个节点。
根节点：位于整棵树顶点的节点，它没有父节点， 如上图 5。
子节点：其他节点的后代。
叶子节点：没有子节点的元素称为叶子节点， 如上图 3、8、24。
二叉树：二叉树就是一种数据结构， 它的组织关系就像是自然界中的树一样。官方语言的定义是：是一个有限元素的集合,该集合或者为空、或者由一个称为根的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉查找树：二叉查找树也叫二叉搜索树（BST），它只允许我们在左节点存储比父节点更小的值，右节点存储比父节点更大的值，上图展示的就是一颗二叉查找树。
代码实现
首先创建一个类来表示二叉查找树，它的内部应该有一个Node类，用来创建节点。
function BinarySearchTree () {
var Node = function(key) {
this.key = key,
this.left = null,
this.right = null
}
var root = null
}它还应该有一些方法：
insert(key) 插入一个新的键
inOrderTraverse() 对树进行中序遍历，并打印结果
preOrderTraverse() 对树进行先序遍历，并打印结果
postOrderTraverse() 对树进行后序遍历，并打印结果
search(key) 查找树中的键，如果存在返回true,不存在返回fasle
findMin() 返回树中的最小值
findMax() 返回树中的最大值
remove(key) 删除树中的某个键
向树中插入一个键
向树中插入一个新的键，首页应该创建一个用来表示新节点的Node类实例，因此需要new一下Node类并传入需要插入的key值，它会自动初始化为左右节点为null的一个新节点。
然后，需要做一些判断，先判断树是否为空，若为空，新插入的节点就作为根节点，如不为空，调用一个辅助方法insertNode()方法，将根节点和新节点传入。
this.insert = function(key) {
var newNode = new Node(key)
if(root === null) {
root = newNode
} else {
insertNode(root, newNode)
}
}定义一下insertNode() 方法，这个方法会通过递归得调用自身，来找到新添加节点的合适位置。
var insertNode = function(node, newNode) {
if (newNode.key <= node.key) {
if (node.left === null) {
node.left = newNode
}else {
insertNode(node.left, newNode)
}
}else {
if (node.right === null) {
node.right = newNode
}else {
insertNode(node.right, newNode)
}
}
}完成中序遍历方法
要实现中序遍历，我们需要一个inOrderTraverseNode(node)方法，它可以递归调用自身来遍历每个节点。
this.inOrderTraverse = function() {
inOrderTraverseNode(root)
}这个方法会打印每个节点的key值，它需要一个递归终止条件————检查传入的node是否为null，如果不为空，就继续递归调用自身检查node的left、right节点。实现起来也很简单：
var inOrderTraverseNode = function(node) {
if (node !== null) {
inOrderTraverseNode(node.left)
console.log(node.key)
inOrderTraverseNode(node.right)
}
}先序遍历、后序遍历
有了中序遍历的方法，只需要稍作改动，就可以实现先序遍历和后序遍历了。
上代码：
// 实现先序遍历
this.preOrderTraverse = function() {
preOrderTraverseNode(root)
}
var preOrderTraverseNode = function(node) {
if (node !== null) {
console.log(node.key)
preOrderTraverseNode(node.left)
preOrderTraverseNode(node.right)
}
}
// 实现后序遍历
this.postOrderTraverse = function() {
postOrderTraverseNode(root)
}
var postOrderTraverseNode = function(node) {
if (node !== null) {
postOrderTraverseNode(node.left)
postOrderTraverseNode(node.right)
console.log(node.key)
}
}这样就可以对整棵树进行中序遍历了。发现了吧，其实就是内部语句更换了前后位置，这也刚好符合三种遍历规则：先序遍历（根-左-右）、中序遍历（左-根-右）、中序遍历（左-右-根）。
先来做个测试吧
现在的完整代码如下：
function BinarySearchTree () {
var Node = function(key) {
this.key = key,
this.left = null,
this.right = null
}
var root = null
//插入节点
this.insert = function(key) {
var newNode = new Node(key)
if(root === null) {
root = newNode
} else {
insertNode(root, newNode)
}
}
var insertNode = function(node, newNode) {
if (newNode.key <= node.key) {
if (node.left === null) {
node.left = newNode
}else {
insertNode(node.left, newNode)
}
}else {
if (node.right === null) {
node.right = newNode
}else {
insertNode(node.right, newNode)
}
}
}
//实现中序遍历
this.inOrderTraverse = function() {
inOrderTraverseNode(root)
}
var inOrderTraverseNode = function(node) {
if (node !== null) {
inOrderTraverseNode(node.left)
console.log(node.key)
inOrderTraverseNode(node.right)
}
}
// 实现先序遍历
this.preOrderTraverse = function() {
preOrderTraverseNode(root)
}
var preOrderTraverseNode = function(node) {
if (node !== null) {
console.log(node.key)
preOrderTraverseNode(node.left)
preOrderTraverseNode(node.right)
}
}
// 实现后序遍历
this.postOrderTraverse = function() {
postOrderTraverseNode(root)
}
var postOrderTraverseNode = function(node) {
if (node !== null) {
postOrderTraverseNode(node.left)
postOrderTraverseNode(node.right)
console.log(node.key)
}
}
}竟然已经完成了添加新节点和遍历的方式，我们来测试一下吧。
定义一个数组，里面有一些元素：
var arr = [9,6,3,8,12,15]
我们将arr中的每个元素依此插入到二叉搜索树中，然后打印结果：
var tree = new BinarySearchTree()
arr.map(item => {
tree.insert(item)
})
tree.inOrderTraverse()
tree.preOrderTraverse()
tree.postOrderTraverse()运行代码后，我们先来看看插入节点后整颗树的情况：
输出结果。
中序遍历：
3 6 8 9 12 15
先序遍历：
9 6 3 8 12 15
后序遍历：
3 8 6 15 12 9
很明显，结果是符合预期的，所以，我们用上面的Java代码，实现了对树的节点插入，和三种遍历方法，同时，很明显可以看到，在二叉查找树树种，最左侧的节点的值是最小的，而最右侧的节点的值是最大的，所以二叉查找树可以很方便的拿到其中的最大值和最小值。
查找最小、最大值
怎么做呢？其实只需要将根节点传入minNode/或maxNode方法，然后通过循环判断node为左侧(minNode)/右侧(maxNode)的节点为null。
实现代码：
// 查找最小值
this.findMin = function() {
return minNode(root)
}
var minNode = function(node) {
if (node) {
while (node && node.left !== null) {
node = node.left
}
return node.key
}
return null
}
// 查找最大值
this.findMax = function() {
return maxNode(root)
}
var maxNode = function (node) {
if(node) {
while (node && node.right !== null) {
node =node.right
}
return node.key
}
return null
}所搜特定值
this.search = function(key) {
return searchNode(root, key)
}同样，实现它需要定义一个辅助方法,这个方法首先会检验node的合法性，如果为null，直接退出，并返回fasle。如果传入的key比当前传入node的key值小，它会继续递归查找node的左侧节点，反之，查找右侧节点。如果找到相等节点，直接退出，并返回true。
var searchNode = function(node, key) {
if (node === null) {
return false
}
if (key < node.key) {
return searchNode(node.left, key)
}else if (key > node.key) {
return searchNode(node.right, key)
}else {
return true
}
}移除节点
移除节点的实现情况比较复杂，它会有三种不同的情况：
● 需要移除的节点是一个叶子节点
● 需要移除的节点包含一个子节点
● 需要移除的节点包含两个子节点
和实现搜索指定节点一元，要移除某个节点，必须先找到它所在的位置，因此移除方法的实现中部分代码和上面相同：
// 移除节点
this.remove = function(key) {
removeNode(root,key)
}
var removeNode = function(node, key) {
if (node === null) {
return null
}
if (key < node.key) {
node.left = removeNode(node.left, key)
return node
}else if(key > node.key) {
node.right = removeNode(node.right,key)
return node
}else{
//需要移除的节点是一个叶子节点
if (node.left === null && node.right === null) {
node = null
return node
}
//需要移除的节点包含一个子节点
if (node.letf === null) {
node = node.right
return node
}else if (node.right === null) {
node = node.left
return node
}
//需要移除的节点包含两个子节点
var aux = findMinNode(node.right)
node.key = aux.key
node.right = removeNode(node.right, axu.key)
return node
}
}
var findMinNode = function(node) {
if (node) {
while (node && node.left !== null) {
node = node.left
}
return node
}
return null
}其中，移除包含两个子节点的节点是最复杂的情况，它包含左侧节点和右侧节点，对它进行移除主要需要三个步骤：
● 需要找到它右侧子树中的最小节点来代替它的位置
●将它右侧子树中的最小节点移除
●将更新后的节点的引用指向原节点的父节点
有点绕儿，但必须这样，因为删除元素后的二叉搜索树必须保持它的排序性质
测试删除节点
tree.remove(8) tree.inOrderTraverse()
打印结果：
3 6 9 12 15
8 这个节点被成功删除了，但是对二叉查找树进行中序遍历依然是保持排序性质的。
到这里，一个简单的二叉查找树就基本上完成了，我们为它实现了，添加、查找、删除以及先中后三种遍历方法。
存在的问题
但是实际上这样的二叉查找树是存在一些问题的，当我们不断的添加更大/更小的元素的时候，会出现如下情况：
tree.insert(16) tree.insert(17) tree.insert(18)
来看看现在整颗树的情况：
很容易发现，它是不平衡的，这又会引出平衡树的概念，要解决这个问题，还需要更复杂的实现，例如：AVL树，红黑树 哎，之后再慢慢去学习吧。
关于实现二叉排序树，我也找到慕课网的一系列的视频：Java实现二叉树算法，内容和上述实现基本一致。
